Darstellende Geometrie - 10 Standardaufgaben der Oberstufe

Mathematischer Hintergrund: Die Zweitafelprojektion bildet jeden Raumpunkt auf zwei Ebenen ab: den Grundriss (π₁, xy-Ebene) und den Aufriss (π₂, xz-Ebene). Die wahre Länge ergibt sich aus wL = √(Δx² + Δy² + Δz²) = √(50² + 20² + 20²) ≈ 57.45. Die Konstruktion der wahren Länge erfolgt durch Umklappung: Im Grundriss wird die Höhendifferenz Δz senkrecht aufgetragen.

Mathematischer Hintergrund: Die Spurgerade s₁ ist der Schnitt der Ebene mit der Grundrissebene (z=0). Man findet sie, indem man auf den Verbindungsgeraden PQ, QR, PR jeweils den Punkt mit z=0 bestimmt (lineare Interpolation). Analog ist s₂ der Schnitt mit der Aufrissebene (y=0). Beide Spurgeraden schneiden sich auf der Rissachse x₁₂.

Mathematischer Hintergrund: Beim schrägen Schnitt eines Kreiszylinders entsteht eine Ellipse. Die kleine Halbachse b entspricht dem Zylinderradius (b = 25). Die große Halbachse ergibt sich aus a = r/cos(α) = 25/cos(45°) ≈ 35.36. Im Aufriss erscheint die Schnittlinie als Gerade unter 45°. Die wahre Gestalt wird durch Umklappung der Schnittebene ermittelt.

Mathematischer Hintergrund: Wenn die Schnittebene parallel zu genau einer Mantellinie liegt, entsteht als Kegelschnitt eine Parabel. Beim Halbwinkel von 30° hat die Mantellinie die Richtung (sin30°, 0, cos30°). Die Schnittebene enthält diese Richtung und ist um einen Offset verschoben. Die Schnittkurve wird punktweise berechnet: Für jede Höhe h wird der Schnittpunkt der Ebene mit dem Kegelkreis bestimmt.

Mathematischer Hintergrund: Bei Parallelprojektion wird jeder Punkt P=(x,y,z) entlang der Lichtrichtung l=(1,1,−1) auf die Grundebene (z=0) projiziert: P_Schatten = (x + z·lx/(−lz), y + z·ly/(−lz), 0) = (x+z, y+z, 0). Der Schlagschatten der oberen Quaderfläche ergibt sich durch Projektion aller vier oberen Eckpunkte.

Mathematischer Hintergrund: Bei zwei gleich großen Zylindern (r₁ = r₂), deren Achsen sich rechtwinklig schneiden, degenerieren die Durchdringungskurven zu zwei Ellipsen, die im Seitenriss als Geraden (Diagonalen des Schnittquadrats) erscheinen. Im Aufriss (Blick entlang einer Zylinderachse) fällt die Durchdringungskurve mit dem Kreisumriss zusammen.

Mathematischer Hintergrund: In der Isometrie stehen alle drei Achsen im Winkel von 120° zueinander (x und y unter 30° zur Horizontalen, z vertikal). Alle Achsen haben denselben Verkürzungsfaktor (bei normierter Isometrie: 1:1:1). Die Transformation: x_iso = x·cos(−30°) + y·cos(210°), y_iso = x·sin(−30°) + y·sin(210°) − z.

Mathematischer Hintergrund: Bei der 1-Punkt-Perspektive liegt die Vorderfläche des Quaders parallel zur Bildebene und wird maßstäblich abgebildet. Alle Tiefenlinien (senkrecht zur Bildebene) konvergieren in einem einzigen Fluchtpunkt F auf dem Horizont. Die Tiefe wird durch den Abstand auf den Fluchtlinien bestimmt. Der Horizont liegt in Augenhöhe.

Mathematischer Hintergrund: Der Torus entsteht durch Rotation eines Kreises (Radius r=10) um eine Achse im Abstand R=30. Im Aufriss (Seitenansicht) zeigt sich die Kontur als: zwei Meridiankreise (Schnitte bei u=0 und u=π) mit Radius r, zentriert bei (±R, 0), verbunden durch zwei horizontale Tangentiallinien bei z=±r. Parametrisierung: x=(R+r·cos v)·cos u, y=(R+r·cos v)·sin u, z=r·sin v.

Mathematischer Hintergrund: Die Schraublinie ist die Bahnkurve eines Punktes, der sich gleichförmig auf einem Zylinderkreis dreht und gleichzeitig in Achsenrichtung verschiebt. Parametrisierung: x=r·cos t, y=r·sin t, z=h·t/(2π). Im Aufriss erscheint sie als Sinuskurve, im Grundriss als Kreis. In der Abwicklung des Zylindermantels wird sie zur Geraden. Steigungswinkel α = arctan(h/(π·d)) ≈ 25.5°.